Question

求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6);

(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为6;

(3)已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点,若椭圆的长轴长是6且cos∠OFA=;

(4)椭圆过(3,0),离心率e=.

Answer 1

答案：
解析：

解:(1)设椭圆的标准方程为 由已知a=2b, 且椭圆过点(2,-6), ① 从而有 ② 由①②,得a2=148,b2=37或a2=52,b2=13, 故所求的方程为 (2)如图所示, △A1FA2为一等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且OF=c,A1A2=2b, ∴c=b=3.∴a2=b2+c2=18. 故所求椭圆的方程为. (3)∵椭圆的长轴长是6,cos∠OFA=, ∴点A不是长轴的端点(是短轴的端点). ∴|OF|=c,|AF|=a=3.∴ ∴c=2,b2=32-22=5. ∴椭圆的方程是 (4)当椭圆的焦点在x轴上时， ∵a=3,,∴c=. 从而b2=a2-c2=9-6=3, ∴椭圆的方程为. 当椭圆的焦点在y轴上时， ∵b=3,, ∴∴a2=27. ∴椭圆的方程为 ∴所求椭圆的方程为.