Question

已知函数

（Ⅰ）若在（0，）单调递减，求a的最小值

（Ⅱ）若有两个极值点，求a的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）a的最小值为1; （Ⅱ）(0，1)．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）将“f(x)在（0，）单调递减”转化为“"x∈(0，＋∞)，a≥”，然后才有构造函数的思想求解函数的最大值即可；（Ⅱ）通过对参数a        与1的讨论，借助求导的方法研究函数的单调性，进而分析保证有两个极值点的条件，通过解不等式求解求a的取值范围.

                                              

试题解析：（Ⅰ）f¢(x)＝lnx＋1－ax．

f(x)单调递减当且仅当f¢(x)≤0，即"x∈(0，＋∞)，

a≥．                                                                                                                          ①

设g(x)＝，则g¢(x)＝－．

当x∈(0，1)时，g¢(x)＞0，g(x)单调递增；

当x∈(1，＋∞)时，g¢(x)＜0，g(x)单调递减．

所以g(x)≤g(1)＝1，故a的最小值为1．                                                              5分

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当a≥1时，f(x)没有极值点．

（2）当a≤0时，f¢(x)单调递增，f¢(x)至多有一个零点，f(x)不可能有两个极值点． 7分

（3）当0＜a＜1时，设h(x)＝lnx＋1－ax，则h¢(x)＝－a．

当x∈(0，)时，h¢(x)＞0，h(x)单调递增；

当x∈(，＋∞)时，h¢(x)＜0，h(x)单调递减．                                                     9分

因为f¢()＝h()＝ln＞0，f¢()＝h()＝－＜0，

所以f(x)在区间(，)有一极小值点x₁．                                                            10分

由（Ⅰ）中的①式，有1≥，即lnx≤x－1，则ln≤－1，

故f¢()＝h()＝ln2＋2ln＋1－≤ln2＋2(－1)＋1－＝ln2－1＜0．

所以f(x)在区间(，)有一极大值点x₂．

综上所述，a的取值范围是(0，1)．       

考点：1.函数的单调性、极值和最值；2.不等式恒成立.