Question

已知函数f（x）=ax²-1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，若数列{

1

f(n)

}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₀的值______．

Answer 1

∵f（x）=ax²-1，∴f′（x）=2ax，
所以f′（1）=2a=8，得a=4．
所以f（x）=4x²-1，
故

1

f(n)

=

1

4n2-1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴S₂₀₁₀=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2×2010-1

-

1

2×2010+1

）]
=

1

2

（1-

1

2×2010+1

）=

2010

4021

．
故答案为：

2010

4021

．