Question

已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R（sin²A-sin²C）=（a-b）sinB
（1）求角C；
（2）试求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据正弦定理，已知等式中的角转换成边，可得a、b、c的平方关系，再利用余弦定理求得cosC的值，可得角C的大小；
（2）根据正弦定理算出c=R，再由余弦定理c²=a²+b²-2a•bcosC的式子，结合基本不等式找到边ab的范围，利用正弦定理的面积公式加以计算，即可求出△ABC面积的最大值．
解答：解：（1）∵2R（sin²A-sin²C）=（a-b）sinB，
∴根据正弦定理，得a²-c²=（a-b）b=ab-b²，
可得a²+b²-c²=ab
∴cosC===，
∵角C为三角形的内角，∴角C的大小为
（2）由（1）得c=2Rsin=R
由余弦定理c²=a²+b²-2a•bcosC，可得
2R²=a²+b²-a•b≥2ab-ab=（2-）ab，当且仅当a=b时等号成立
∴ab≤=（）R²
∴S_△ABC=absinC≤•（）R²•=R²
即△ABC面积的最大值为R²
点评：本题给出三角形的外接圆半径为R，在已知角的关系式情况下，求三角形面积最大值．着重考查了三角形的外接圆、正余弦定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．