Question

正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面上的射影是底面的中心）S-ABCD的底面边长为2，高为2，E为边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为（　　）

• A．

  2

• B．

  2

  +

  3

• C．3

  2

• D．

  2

  +

  6

Answer 1

分析：由动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PE⊥AC，故P点落在过E点且于AC垂直的平面上，根据线面平行的判定定理，找到满足条件的P点轨迹，解三角形可得答案．

解答：解：连接AC，BD交于点O，连接SO，则SO⊥平面ABCD
由AC?平面ABCD，故SO⊥AC
取SC中点F和CD中点G，连接GE交AC于H
则H为OC的中点，故FH∥SO，
则FH⊥AC
又由GE∥BD，BD⊥AC得GE⊥AC
∵GE∩FH=H，GE，FH?平面FGE
∴AC⊥平面FGE
故当P∈平面FGE时，总有PE⊥AC，
故动点P的轨迹即为△FGE的周长
又∵正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为2，
故SO=2，BD=2

2

则GE=

2

，SB=

6

则FE=FG=

6

2

故△FGE的周长为

2

+

6

故选D

点评：本题考查的知识点是线面垂直的判定及性质，其中根据已知分析出P点落在过E点且于AC垂直的平面上，进而给出添加辅助线的方法是解答的关键．