Question

（满分18分）本题有2小题，第1小题9分，第2小题9分．

在中，、为定点，为动点，记、、的对边分别为、、，已知，且存在常数，使得．

（1）求动点的轨迹，并求其标准方程；

（2）设点为坐标原点，过点作直线与（1）中的曲线交于两点，若，试确定的范围．

Answer 1

解：（1）在中，由余弦定理，有， ……………1分

， ……………………3分

所以，点的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆．（除去长轴上的顶点）  …………………………………………………………………………………………1分

如图，以、所在的直线为x轴，以、的中点为坐标原点建立直角坐标系．

则，和．

椭圆的标准方程为：． …………………………………………4分

（2）设，，

①当垂直于轴时，的方程为，由题意，有，在椭圆上．

即，由，得………………………………1分

②当不垂直于轴时，设的方程为．

由得：，………2分

由题意知：，

所以，．

于是：．

因为，所以，

所以，………………………………………4分

所以，，

由得，解得 …………………………………………2分

综合①②得： ………………………………………………………………1分