Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知BC=1，∠BCC₁=

π

3

，AB=CC₁=2．
（1）求证：C₁B⊥平面ABC；
（2）设E是CC₁的中点，求AE和平面ABC₁所成角正弦值的大小．

Answer 1

分析：（1）证明C₁B⊥平面ABC，根据本题条件，需要证明BC₁AB⊥，由AB⊥侧面BB₁C₁C就可以解决；而要证明C₁B⊥BC，则需要通过解三角形来证明．
（2）过E作BC₁的垂线，垂足为F，则EF⊥面ABC₁，连接AF，则∠EAF为所求．

解答：（1）证明：在△BCC₁中，
∵BC=1，CC₁=2，∠BCC₁=

π

3

，
∴BC₁=

1+4-2•1•2• 1 2

=

3

，
∴∠CBC₁=90°，∴BC⊥BC₁，
∵AB⊥侧面BB₁C₁C，BC₁?面BB₁C₁C，
∴BC₁⊥AB，
∵AB∩BC=B，∴BC₁⊥平面ABC；
（2）解：∵AB⊥侧面BB₁C₁C，AB?面ABC₁，
∴侧面BB₁C₁C⊥面ABC₁，
过E作BC₁的垂线，垂足为F，则EF⊥面ABC₁，
连接AF，则∠EAF为所求．
∵BC₁⊥BC，BC₁⊥EF，
∴BC∥EF，
∵E是CC₁的中点，
∴F是BC₁的中点，EF=

1

2

，
∵AE=

5

，
∴sin∠EAF=

1 2

5

=

5

10

，即AE和平面ABC₁所成角正弦值为

5

10

．

点评：本题考查线面垂直、线线垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定定理是关键．