Question

（2012•海淀区一模）如图，以△ABC的边AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，EF⊥AB于点F，AF=3BF，BE=2EC=2，那么∠CDE=

60°

，CD=

3 13

13

．

Answer 1

分析：如图所示，设圆心为点O，半径为R，连接OE，AE．利用已知AF=3FB，AF+FB=2R，可得FB=

1

2

R，又EF⊥AB，可得OE=EB，即△OEB为等边三角形，从而利用圆内接四边形的性质即可得出∠CDE的大小；也可求出AE．进而求出AC，再利用割线定理即可得出CD．

解答：解：如图所示，设圆心为点O，半径为R，连接OE，AE．
由AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥CE．
∵AF=3FB，AF+FB=2R，
∴FB=

1

2

R，又EF⊥AB，∴OE=EB，即△OEB为等边三角形．
∴∠ABE=60°．
∴∠CDE=∠ABE=60°；
∴AE=BEtan60°=2

3

．
在Rt△ACE，AC=

AE2+CE2

=

(2 3 )2+12

=

13

．
由割线定理可得：CD•CA=CE•CB，
∴CD=

1×3

13

=

3 13

13

．
故答案为60°； 

3 13

13

．

点评：本题综合考查了圆的性质、等边三角形的判定与性质、割线定理等基础知识，考查了推理能力和计算能力．