Question

已知F₁，F₂为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0且a≠b)的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．下面四个命题（　　）
A、△PF₁F₂的内切圆的圆心必在直线x=a上；
B、△PF₁F₂的内切圆的圆心必在直线x=b上；
C、△PF₁F₂的内切圆的圆心必在直线OP上；
D、△PF₁F₂的内切圆必通过点（a，0）．
其中真命题的代号是

 

（写出所有真命题的代号）．

Answer 1

分析：设△PF₁F₂的内切圆分别与PF₁、PF₂切于点A、B，与F₁F₂切于点M，则可知|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|，点P在双曲线右支上，根据双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，因此|F₁M|-|F₂M|=2a，设M点坐标为（x，0），代入即可求得x，判断A，D正确．

解答：解：设△PF₁F₂的内切圆分别与PF₁、PF₂切于点A、B，与F₁F₂切于点M，
则|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|，
又点P在双曲线右支上，
所以|PF₁|-|PF₂|=2a，故|F₁M|-|F₂M|=2a，而|F₁M|+|F₂M|=2c，
设M点坐标为（x，0），
则由|F₁M|-|F₂M|=2a可得（x+c）-（c-x）=2a
解得x=a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，
故A、D正确．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．特别是灵活利用了双曲线的定义．