Question

16．已知A、B为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右顶点，C（0，b），直线l：x=2a与x轴交于点D，与直线AC交于点P，且BP平分角∠DBC，则椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意可得A（-a，0），B（a，0），C（0，b），求得P（2a，3b），再由两直线的夹角公式，运用直线的斜率公式，结合离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得A（-a，0），B（a，0），C（0，b），
直线AC的方程为bx-ay+ab=0，
由x=2a，可得y=3b，即P（2a，3b），
则直线PB的斜率为k₁=$\frac{3b}{a}$，
直线BC的斜率为k₂=-$\frac{b}{a}$，
由BP平分角∠DBC，可得$\frac{3b}{a}$=$\frac{-\frac{b}{a}-\frac{3b}{a}}{1-\frac{3{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，
化简可得7a²=9b²，
由b²=a²-c²，可得2a²=9c²，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．