Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n-1（n≥1）．
（Ⅰ）设b_n=a_n-1（n=1，2，3，…），求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）设c_n=

2n

an• an+1

，求证：数列{c_n}的前n项和S_n＜

1

3

．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n-1，∴a_n+1-1=2（a_n-1）
∵b_n=a_n-1，∴b_n+1=2b_n，
∵a₁=3，∴b₁=a₁-1=2≠0，∴数列{b_n}是等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）b_n=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ+1
∴c_n=

2n

an•an+1

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

∴T_n=（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

9

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n+1+1

）=

1

3

-

1

2n+1+1

＜

1

3