Question

已知函数f（x）=x³ax²+bx+c在x₁处取得极大值，在x₂处取得极小值，满足x₁∈（-1，0），x₂∈（0，1），则的取值范围是（ ）
A．（0，2）
B．（1，3）
C．[0，3]
D．[1，3]

Answer 1

【答案】分析：据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．
解答：解：∵f（x）=x³ax²+bx+c，
∴f′（x）=x²+ax+b
∵函数f（x）在区间（-1，0）内取得极大值，在区间（0，1）内取得极小值，
∴f′（x）=x²+ax+b=0在（-1，0）和（0，1）内各有一个根，
f′（0）＜0，f′（-1）＞0，f′（1）＞0
即，
在aOb坐标系中画出其表示的区域，如图，
∵A（0，-1），B（1，0），C（-1，0），
∴把A（0，-1）代入，得到：=1；
把B（1，0）代入，得到：=；
把C（-1，0）代入，得到：=3．
∴的取值范围是（1，3）．
故选B．
点评：本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及会进行简单的线性规划的能力，解题时要认真审题，仔细解答．