Question

已知x₁＞1，x₂＞1，x₁x₂²=100，

1

lgx1

+

3

lgx2

的最小值等于（　　）

• A、4
• B、

  4 6

  3

• C、

  7+2 6

  2

• D、

  7-2 6

  3

Answer 1

分析：由已知x₁＞1，x₂＞1，x₁x₂²=100，可得 lgx₁+2lgx₂=2，故

1

lgx1

+

3

lgx2

=

lgx1+ 2lgx2

2lgx1

+

3( lgx1+ 2lg x2)

2lgx2

=

7

2

+

lgx2

lgx1

+

3lgx1

2lgx2

，利用基本不等式求得其最小值．

解答：解：∵已知x₁＞1，x₂＞1，x₁x₂²=100，∴lgx₁+2lgx₂=2，∴

lgx1+ 2lgx2

2

= 1．
∴

1

lgx1

+

3

lgx2

=

lgx1+ 2lgx2

2lgx1

+

3( lgx1+ 2lg x2)

2lgx2

=

7

2

+

lgx2

lgx1

+

3lgx1

2lgx2

≥

7

2

+2

3 2

=

7+2 6

2

，当且仅当

lgx2

lgx1

=

3lgx1

2lgx2

 时，等号成立，
故选C．

点评：本题考查对数的运算性质，基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键．