题目内容
已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AC1与底面ABC所成角的余弦值等于（ ）
分析：先求出点A1到底面的距离A1O的长度，即知点C1到底面的距离的长度，再求出AC1的长度，在直角三角形中求AC1与底面ABC所成角的正弦，再由同角三角函数的关系求出其余弦值即可．
解答：
解：设三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都等于a，如图，
则AO=
=
，
又cos∠A1AC=
×cos30°=
，
∴∠A1AC=60°，∠AA1C=120°，
在菱形ACC1A1中，AC1=
a，
又点C1到底面ABC的距离等于点A1到底面ABC的距离A1O=
=
a，
∴AC1与底面ABC所成角的正弦值为
=
，
∴AC1与底面ABC所成角的余弦值为
．
故选B．
解：设三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都等于a，如图，则AO=
| AB |
| 2sin60° |
| a | ||
|
又cos∠A1AC=
| AO |
| AA1 |
| 1 |
| 2 |
∴∠A1AC=60°，∠AA1C=120°，
在菱形ACC1A1中，AC1=
| 3 |
又点C1到底面ABC的距离等于点A1到底面ABC的距离A1O=
a2-(
|
| ||
| 3 |
∴AC1与底面ABC所成角的正弦值为
| ||||
|
| ||
| 3 |
∴AC1与底面ABC所成角的余弦值为
| ||
| 3 |
故选B．
点评：本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义，还有点面距与线面距的转化，考查了转化思想和空间想象能力．
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