Question

（本小题满分14分）已知函数的图象过点．

（1）求的解析式；

（2）若（为实数）恒成立，求的取值范围；

（3）当时，讨论在区间上极值点的个数．

Answer 1

（1）f（x）＝lnx；

（2）；

（3）当m＝1时，函数F（x）在（0，2）无极值点；当或m≥2时，F（x）有1个极值点；当且m≠1时，F（x）有2个极值点．

【解析】

试题分析：（1）函数的图象过定点（1，0） 1分

把点（1，0）代入得

f（x）＝lnx 2分

（2）恒成立，即恒成立，得

3分

令 4分

当时，，所以在为减函数 5分

当时，，所以在为增函数 6分

的最小值为

故 7分

（3）由（1）知：

又，由F′（x）＝0得， 9分

当时，得m＝1，F′（x）≥0，F（x）在（0，2）为增函数，无极值点 10分

当且时，得且m≠1，

根据x，F（x），F′（x）的变化情况检验，可知F（x）有个极值点 12分

当或时，得或m≥2．

根据x，F（x），F′（x）的变化情况检验，可知F（x）有个极值点 13分

综上，当m＝1时，函数F（x）在（0，2）无极值点；当或m≥2时，F（x）有1个极值点；当且m≠1时，F（x）有2个极值点． 14分

考点：考查了函数的解析式，利用导数研究函数的最值，极值问题．