Question

（2012•道里区三模）下列命题中正确的是（　　）

• A．函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数
• B．函数y=2sin(

  π

  6

  -2x)在区间[0，

  π

  3

  ]上是单调递增的
• C．函数y=2sin(

  π

  3

  -x)-cos(

  π

  6

  +x)(x∈R)的最小值是-1
• D．函数y=sinπx?cosπx是最小正周期为2的奇函数

Answer 1

分析：A：利用奇函数的定义域必须关于原点对称，可得A不正确．
B：由x∈[0，

π

3

]得出

π

6

-2x的取值范围，再利用正弦函数的单调性进行判断．
C：利用诱导公式化简函数的解析式为 y=2sin（

π

3

-x），再根据正弦函数的值域求出它的最小值．
D：利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为

1

2

sin2πx，从而得到函数的周期性和奇偶性．

解答：解：对于A：由于函数y=sinx，x∈[0，2π]的定义域不关于原点对称，故它不奇函数，故A不正确．
B：由x∈[0，

π

3

]得出

π

6

-2x∈（-

π

2

，

π

6

），正弦函数f（x）=sinx在（-

π

2

，

π

6

）上是增函数，
函数y=2sin(

π

6

-2x)在区间[0，

π

3

]上是单调递减的，故B错误．
C：由于函数y=2sin(

π

3

-x)-cos(

π

6

+x)=2sin(

π

3

-x)-sin(

π

3

-x)=sin(

π

3

-x)，它的最小值是-1，正确．
D：由函数y=sinπx•cosπx=

1

2

sin2πx，它是最小正周期为1的奇函数，故D不正确．
故选C．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性与求法，正弦函数的奇偶性，属于中档题．