Question

设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点在x轴上，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为，
（1）求此椭圆方程，并求出准线方程；
（2）若P在左准线l上运动，求tan∠F₁PF₂的最大值．

Answer 1

解：（1）设所求椭圆方程为（a＞b＞0）
如图，
B₁F₁⊥B₂F₁，
且
∴（5分）
∴a²=32，b²=16（7分）
∴椭圆方程为，准线方程为x=±8（9分）
（2）设P（-8，t），∵F₁（-4，0），F₂（4，0）
则
当P（-8，）最大值为（13分）
分析：（1）由 b=c，a-c=4（ -1），及a²=b²+c² 解出 a、b、c 的值，即得椭圆的标准方程．
（2）设P（-8，t），设直线PF₁的斜率k₁，直线PF₂的斜率k₂，利用到角公式进行计算，由此能导出tan∠F₁PF₂的最大值．
点评：本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，考查直线与圆锥曲线的位置关系，注意利用焦点到椭圆的最短距离为a-c．解题时要认真审题，仔细求解．