Question

已知三棱锥A-BCD，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD=1，AB⊥AD，DB=DC，DB⊥DC．
（1）求证：AB⊥平面ADC；
（2）求三棱锥A-BCD的体积．

Answer 1

分析：（1）根据线面垂直的判定定理，证明AB⊥CD即可．
（2）根据三棱锥的体积公式求出底面积和高即可求体积．

解答：解：（1）∵平面ABD⊥平面BCD，DB⊥DC．
∴CD⊥平面ABD，
∵AB?平面ABD，
∴CD⊥AB，
∵AB⊥AD，且AD∩AB=B，
∴AB⊥平面ADC．
（2）取BD的中点O，连结AO，
∵AB=AD=1，AB⊥AD，
∴三角形ABD为等腰直角三角形，
∴A0⊥BD，且AO=

2

2

．BD=

2

．
∵平面ABD⊥平面BCD，A0⊥BD，
∴A0⊥平面BCD，即AO是三棱锥A-BCD的高，
∵DB=DC，DB⊥DC．
∴CD=BD=

2

，
即三角形BCD的面积为

1

2

×

2

×

2

=1，
∴三棱锥A-BCD的体积为

1

3

×1×

2

2

=

2

6

．

点评：本题主要考查线面垂直的判定以及空间三棱锥的体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理和体积公式．