Question

数列{a_n}满足a₁=2,a_n+1=a_n²+6a_n+6(n∈N^*).

(1)c_n=log₅(a_n+3),求证:{c_n}是等比数列;

(2)求数列{a_n}的通项公式;

(3)设b_n=,数列{b_n}的前n项和为T_n,求证:≤T_n＜.

Answer 1

解:(1)∵a_n+1+3=a_n²+6a_n+9=(a_n+3)²,

∴log₅(a_n+1+3)=2log₅(a_n+3),

即c_n+1=2c_n,=2,{c_n}是等比数列(n∈N^*).

(2)c₁=log₅(2+3)=1,c_n=c₁q^n-1=1×2^n-1=2^n-1,

log₅(a_n+3)=2^n-1,a_n=-3(n∈N^*).

(3)证明:b_n=,

T_n=++…+=.

T_n===,

{T_n}单调递增,因此{T_n}_min=T₁==,T_n＜,

即≤T_n＜.