Question

如图，在边长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点，用向量方法：
（1）求证：D₁F⊥平面ADE；
（2）求CB₁与平面ADE所成角的正弦．

Answer 1

分析：（1）由题意，建立空间直角坐标系，利用一条直线与平面里的两条相交直线垂直则该直线就与这一平面垂直的判定定理可以得证；
（2）由题意，利用直线与平面所成角的概念中，利用空间向量中的直线方向向量和平面的法向量之间的关系进而求解．

解答：解：建立如图所示的直角坐标系，
（1）D（0，0，0），A（2，0，0），D₁（0，0，2），E（2，2，1），F（0，1，0），
则

D1F

=（0，1，-2），

D A

=（2，0，0），

AE

=（0，2，1）
则

D1F

•

DA

=0，

D1F

⊥

DA

，

D1F

•

AE

=0，

D1F

⊥

AE

D₁F⊥平面ADE；
（2）B₁（2，2，2），C（0，2，0），故

CB1

=（2，0，2），

CB1

•

D1F

=(0，0，-4)，
|

CB1

|=2

2

，得|

D1F

|=

5

，
设CB₁与D₁F所成锐角α，则cosα=

| CB1 • D1F |

| CB1 |•| D1F |

=

4

2 2 • 5

=

10

5

，
CB₁与平面ADE所成角β是α的余角，
∴sinβ=cosα=

10

5

，
CB₁与平面ADE所成角的正弦值是

10

5

．

点评：（1）此问重点考查了直线与平面垂直的判定定理用向量的表述得以求证；
（2）此问重点考查了利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．