Question

在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系(如图所示)．若R、R′分别在线段0F、CF上，且==.

(Ⅰ)求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆：+=1上；

(Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为，求证：直线MN过定点

 

Answer 1

【答案】

(1)要证明直线的交点是否在椭圆上，首先是求解直线的方程，然后联立方程组得到交点坐标，加以说明。

(2)

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）∵，∴，              1分

又  则直线的方程为      ①          2分

又 则直线的方程为         ②          3分             

由①②得                                       4分                     

    5分

∴直线与的交点在椭圆上  6分

（Ⅱ）① 当直线的斜率不存在时，设

则 ∴ ,不合题意      8分

② 当直线的斜率存在时，设 

联立方程 得

则 ，

   10分

又

即

将代入上式得      13分

∴直线过定点                                        14分

考点：直线于椭圆的位置关系

点评：解决的关键是根据直线与椭圆的方程，联立方程组，以及韦达定理来得求解，属于基础题。