Question

如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，

(1)求证：AC⊥平面B₁D₁DB；

(2)求证：BD₁⊥平面ACB₁；

(3)求三棱锥B-ACB₁体积．

Answer 1

 (1)证明：∵ AC⊥BD，又BB₁⊥平面ABCD，且AC 平面ABCD，

∴ BB₁⊥AC.  BD∩BB₁＝B，∴ AC⊥平面B₁ D₁DB．

(2)证明：由(1)知AC⊥平面B₁D₁DB，

∵ BD₁平面B₁D₁DB，∴ AC⊥BD₁．

∵ A₁D₁⊥平面A₁B₁BA，AB₁平面A₁B₁BA，

∴ A₁D₁⊥AB₁．

又 ∵ A₁B⊥AB₁且A₁B∩A₁D₁于A₁，

∴ AB₁⊥平面A₁D₁B．

∵ BD₁平面A₁D₁B，

∴ BD₁⊥AB₁，

又 ∴ AC∩AB₁＝A，

∴ BD₁⊥平面ACB₁．

(3)解：(方法1)＝×1×(×1×1)＝．

(方法2)＝(V_正方体)＝．