Question

已知函数f（x）=alnx-2x  （a为常数）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；
（3）若函数g（x）=f（x）+x²+1有极值点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入，先求定义域，在求导数，令f′（x）＞0，f′（x）＜0，求解函数的单调区间．
（2）先求导数，由函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，转化成f'（x）≤0在（1，+∞）内恒成立，利用参数分离法即可求出a的范围．
（3）函数g（x）=f（x）+x²+1有极值点，即函数的导数等于0至少一解（且导数在点的两侧符号不相同），求出a的范围即可．

解答：解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），当a=1时，f′(x)=

1

x

-2
由f′（x）＞0得0＜x＜

1

2

，
由f′（x）＜0，得x＞

1

2

∴f（x）的单调增区间为(0，

1

2

)，单调减区间为(

1

2

，+∞)-------（4分）
（2）f（x）的定义域为（0，+∞）f′(x)=

a

x

-2=

a-2x

x

＜0，即2x-a＞0
∵函数在（1，+∞）上为单调减函数，∴

a

2

≤1∴a≤2-----（9分）
（3）由题意：g（x）=alnx-2x+x²+1∴g′(x)=

a

x

-2+2x=

2x2-2x+a

x

(x＞0)，
若函数g（x）有极值点，∵x＞0
∴2x²-2x+a=0有两解且在（0，+∞）至少有一解，----------（11分）
由△=4-8a＞0得a＜

1

2

------①----------（13分）
由2x²-2x+a=0在（0，+∞）至少有一解，得a=-2x²+2x在（0，+∞）至少有一解
设y₁=a，y₂=-2x²+2x（x＞0），则有两图象至少有一个交点，
解得a≤

1

2

------②----------（15分）
由①②得a＜

1

2

，
综上：当a＜

1

2

时函数g（x）有极值点----------（16分）

点评：本题考查了函数在某点取得极值的条件、利用导数求函数单调区间，由f′（x）＞0（＜0）得函数的单调增（减）区间，而在解不等式f′（x）＞0（＜0）时，如果含有参数时，要注意对参数分类讨论．