Question

若函数f（x）=x³-3x-k在R上只有一个零点，则常数k的取值范围是________．

Answer 1

（-∞，-2）
分析：令f′（x）=0，解得 x=1或 x=-1，由导数的符号可得函数f（x）在（-∞，-1）上是增函数，在（-1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，故f（-1）是函数的极小值．由条件可得f（1）＞0，由此求得常数k的取值范围．
解答：求导函数可得f′（x）=3x²-3，令f′（x）=0，解得 x=1或 x=-1．
利用导数的符号可得 函数f（x）在（-∞，-1）上是增函数，在（-1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．
故f（-1）是函数的极大值，f（1）是函数的极小值．
由函数f（x）=x³-3x-k可得此函数的值域为R．
再由函数f（x）=x³-3x-k在R上只有一个零点，可得极小值f（1）＞0，即1-3-k＞0，解得 k＜-2，
故常数k的取值范围是（-∞，-2），
故答案为 （-∞，-2）．
点评：三次函数的零点研究，通常与函数的极值有关，解题时，利用导数确定函数的极值即可，属于基础题．