题目内容
【题目】给正有理数
、
（
，
，
，且
和
不同时成立），按以下规则
排列：① 若
，则排在前面；② 若
，且
，则排在的前面，按此规则排列得到数列
.
（例如：
）.
（1）依次写出数列的前10项；
（2）对数列中小于1的各项，按以下规则
排列：①各项不做化简运算；②分母小的项排在前面；③分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列
，求数列的前10项的和
，前2019项的和
；
（3）对数列中所有整数项，由小到大取前2019个互不相等的整数项构成集合
，
的子集
满足：对任意的
，有
，求集合中元素个数的最大值.
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）1010.
【解析】
（1）依题意，数列{an}的前10项为：
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）按规则Q排列后得：{，，，
，
，
，
，
，
，
，…}，求前2019项的和S2019时，先确定最后一个分数的值，令2019＝1+2+3+…+n即
2019，进而求解；
（3）A＝{1，2，3，…，2019}，B＝{2019，2018，2107，2016，…，1010}共1010项，进而求解；
（1）依题意，数列{an}的前10项为：，，，，，，，，，；
（2）依题意按规则Q排列后得：{，，，，，，，，，，…}，
∴前10项和为：S10
5；
求前2019项的和S2019时，先确定最后一个分数的值，令2019＝1+2+3+…+n即2019，∴n∈（63，64），
数列分母取遍2至64时，共有
2016项，所有分母为65的还有3项，即：
，
，
，
∴数列{bn}前2019项为：{，，，，，，，，，，
，
，，，}，
当n∈[2，64]时，对分母为n的小段求和：S
，
∴当n∈[2，64]时，对63个小段相加求和：S′
1008，
S2019＝S′
1008
，
（3）依题意：A＝{1，2，3，…，2019}，B＝{2019，2018，2107，2016，…，1010}共1010项，这种情况B中的元素最多．
