题目内容

已知中心在原点的双曲线C的离心率为
2
3
3
，一条准线方程为x=
3
2

（1）求双曲线C的标准方程
（2）若直线l：y=kx+
2
与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O为原点），求k的取值范围．
（1）∵
c
a
=
2
3
3
，
a2
c
=
3
2
，
∴a=
3
，c=2，
∴双曲线方程为
x2
3
-y2=1．（4分）
（2）
y=kx+
2
x2
3
-y2=1
，
∴（1-3k2）x2-6
2
kx-9=0，
由直线l与双曲线交于不同的两点得
1-3k2≠0
△=(6
2
k)2+36(1-3k2)
=36（1-k2）=0，
即k2≠
1
3
，且k2＜1①（6分）
x1+x2=
6
2
k
1-3k2
，x1x2=
-9
1-3k2
，
由
OA
•
OB
＞2，得x1x2+y1y2＞2，
而x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+
2
)(kx2+
2)

=（k2+1）x1x2+
2
k(x1+x2)+2
=
3k2+7
3k2-1
．（8分）
于是
3k2+7
3k2-1
＞2，即
3k2-9
3k2-1
＜0，
∴
1
3
＜k2＜3，②（10分）
由①②得
1
3
＜k2＜1，
k∈(-1，-
3
3
)∪(
3
3
，1)．
练习册系列答案
相关题目
已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为
2
2
，F1，F2为其焦点，一直线过点F1与椭圆相交于A、B两点，且△F2AB的最大面积为
2
，求椭圆的方程．
如图，M是抛物线y2=x上的一个定点，动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B，且|MA|=|MB|．证明：直线EF的斜率为定值．
椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=
4
3
，|PF2|=
14
3
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过点M（-2，1），交椭圆C于A，B两点，且M恰是A，B中点，求直线l的方程．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F1（-1，0），离心率为
2
2
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G的横坐标的取值范围．
已知直线l：y=3x+2过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点．
（1）求抛物线方程；
（2）设抛物线的一条切线l1，若l1∥l，求切点坐标．
已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，过右焦点F且斜率为
2
的直线l交椭圆E于两点A，B，若以原点为圆心，
6
3
为半径的圆与直线l相切
（1）求焦点F的坐标；
（2）以OA，OB为邻边的平行四边形OACB中，顶点C也在椭圆E上，求椭圆E的方程．
附加题：已知半椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(x≥0)与半椭圆
y2
b2
+
x2
c2
=1(x≤0)组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞b＞c＞0，F0、F1、F2是对应的焦点．
（1）（文）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程．
（2）（理）当|A1A2|＞|B1B2|时，求
b
a
的取值范围．
已知直线y=x-2与抛物线y2=4x交于A、B两点，则|AB|的值为（　　）
A．2
6
B．4
6
C．2
3
D．4
3

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