Question

已知函数f（x）＝－x³＋ax²＋b（a、b∈R）。

（1）若a＝1，函数f（x）的图象能否总在直线y＝b的下方？请说明理由；

（2）若函数f（x）在［0，2］上是增函数，x＝2是方程f（x）＝0的一个根，

求证：f（1）≤－2；

（3）若函数f（x）图象上任意不同的两点间连线斜率都小于1，求实数a的取值范围。

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）解：不能。取x＝－1，则f（－1）＝1＋1＋b＞b，即存在点（－1，2＋b）在函数图象上，且在直线y＝b的上方。 （2）证明：由x＝2是方程f（x）＝0的一个根，得f（2）＝－8＋4a＋b＝0，即b＝8－4a。 又f’（x）＝－3x2＋2ax，令f′（x）＝0，得－3x＋2ax＝0，解得x1＝0，x2＝，又函数f（x）在［0，2］上是增函数。∴ x2＝≥2，即a≥3。 ∴ f（1）＝－1＋a＋b＝－1＋a＋8－4a＝7－3a≤－2。 （3）解：设任意不同的两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）且x1≠x2，则＜1。 ∴ ＜1。∴ ＜1。 ∴ a（x2＋x1）－（x22＋x12＋x1x2）＜1。∴ －x12＋（a－x22＋ax2－1＜0。 ∵ x∈R，    ∴ △＝（a－x2）2＋4（－x22＋ax2－1）＜0。 ∴ －3x22＋2ax2＋a2－4＜0。    ∴ －3（x2－）2＋＋a2－4＜0。 ∴ －4＜0。∴ a2＜3。    ∴ －＜a＜。