题目内容

已知数列{an}满足2n-1a1+2n-2a2+2n-3a3+…+an=n•2n，记所有可能的乘积aiaj（1≤i≤j≤n）的和为Tn．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Tn的表达式；
（3）求证：
n-1
4
＜
T1
T2
+
T2
T3
+
T3
T4
+…+
Tn
Tn+1
＜
n
4
．
（1）∵数列{an}满足2n-1a1+2n-2a2+2n-3a3+…+an=n•2n，
∴
a1
2
+
a2
22
+
a3
23
+…+
an
2n
=n，
当n=1时，a1=2．
当n≥2时，
a1
2
+
a2
22
+
a3
23
+…+
an
2n
=n，
a1
2
+
a2
2 2
+
a3
23
+…+
an-1
2n-1
=n-1，
两式相减，得
an
2n
=1，
∴an=2n．
（2）∵aiaj（1≤i≤j≤n）的和为Tn，
∴Tn=a1a1+（a1a2+a2a2）+（a1a3+a2a3+a3a3）+…+（a1an+a2an+a3an+…+anan）
=（23-22）+（25-23）+（27-24）+…+（22n+1-2n+1）
=
23-22n+3
1-4
-（2n+2-4）
=
4
3
(2n+1-1)(2n-1)．
（3）∵
Tn
Tn+1
=
4
3
(2n+1-1)(2n-1)
4
3
(2n+2-1)(2n+1-1)

=
2n-1
2n+2-1

=
2n-1
4(2n-1)+3
＜
1
4
，
∴
T1
T2
+
T2
T3
+
T3
T4
+…+
Tn
Tn+1
＜
1
4
+
1
4
+
1
4
+…+
1
4
=
n
4
，
∵
Tn
Tn+1
=
2n-1
2n+2-1
=
1
4
-
3
4
•
1
2n+2-1

=
1
4
-
3
4
•
1
3•2n+2n-1

＞
1
4
-
3
4
•
1
3•2n

=
1
4
-
1
2 n+2
，
∴
T1
T2
+
T2
T3
+
T3
T4
+…+
Tn
Tn+1
＞（
1
4
-
1
2 3
）+（
1
4
-
1
2 4
）+…+（
1
4
-
1
2 n+2
）
=
n
4
-(
1
2 3
+
1
2 4
+… +
1
2 n+2
)
=
n
4
-(
1
4
-
1
2 n+2
)＞
n-1
4
，
∴
n-1
4
＜
T1
T2
+
T2
T3
+
T3
T4
+…+
Tn
Tn+1
＜
n
4
．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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