题目内容
在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，连接原点O与点An（n，n+3），若用f（n）表示线段OAn上除端点外的整点个数，则f（1）+f（2）+…+f（2010）=分析：因为线段OAn斜率k=
=1+
，方程为y=x+
，所以n为3的倍数，才能找出比n小的整数x，使得y也为整数．由此入手能够求出f（1）+f（2）+…+f（2010）的值．
| n+3 |
| n |
| 3 |
| n |
| 3x |
| n |
解答：解：∵线段OAn斜率k=
=1+
，方程为y=x+
，
∴n为3的倍数，才能找出比n小的整数x，使得y也为整数．
∴当n=3，6，9，12，…，2010时，线段OAn上有除端点外的2个整点．
数列3，6，9，12，…，2010是首项为3，公差为3的等差数列，其通项公式为am=3m．
由3m=2010知m=670，∴f（1）+f（2）+…+f（2010）=2×670=1340．
| n+3 |
| n |
| 3 |
| n |
| 3x |
| n |
∴n为3的倍数，才能找出比n小的整数x，使得y也为整数．
∴当n=3，6，9，12，…，2010时，线段OAn上有除端点外的2个整点．
数列3，6，9，12，…，2010是首项为3，公差为3的等差数列，其通项公式为am=3m．
由3m=2010知m=670，∴f（1）+f（2）+…+f（2010）=2×670=1340．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，挖掘题设条件中的隐含条件．
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