Question

已知向量

m

=(

3

sin

x

2

，1)，

n

=(cos

x

2

，cos2

x

2

)，函数f(x)=

m

•

n

-

1

2

．
（Ⅰ）若x∈(-

π

3

，

π

6

)，求f（x）的取值范围；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（B）=1，a=5，b=5

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）根据向量数量积公式与三角恒等变换公式，化简得f(x)=

m

•

n

-

1

2

=sin（x+

π

6

），再由x∈(-

π

3

，

π

6

)利用正弦函数的图象与性质，可得f（x）的取值范围；
（II）根据f（x）的表达式化简f（B）=1，算出B=

π

3

．再根据已知条件利用正弦定理算出sinA=

1

2

，结合a＜b得出A=

π

6

，由三角形内角和定理算出C=

π

2

，得到△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，可得△ABC的面积．

解答：解：（I）∵向量

m

=(

3

sin

x

2

，1)，

n

=(cos

x

2

，cos2

x

2

)，
∴

m

•

n

=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

（1+cosx）．
由此可得函数f(x)=

m

•

n

-

1

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx=sin（x+

π

6

），
又∵x∈(-

π

3

，

π

6

)，得x+

π

6

∈(-

π

6

，

π

3

)．
∴sin（x+

π

6

）∈(-

1

2

，

3

2

)，即f（x）的取值范围是(-

1

2

，

3

2

)；
（II）∵f（x）=sin（x+

π

6

），∴f（B）=sin（B+

π

6

）=1，
又∵B+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），∴B+

π

6

=

π

2

，可得B=

π

3

．
∵a=5，b=5

3

，
∴根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，可得sinA=

asinB

b

=

5×sin π 3

5 3

=

1

2

，
由a＜b得A＜B，所以A=

π

6

，
因此C=π-（A+B）=

π

2

，可得△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，
∴△ABC的面积S=

1

2

ab=

1

2

×5×5

3

=

25 3

2

．

点评：本题以向量数量的坐标运算为载体，着重考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质、利用正弦定理解三角形与三角形的面积求法等知识，属于中档题．