Question

（本小题满分10分）
已知数列，其前项和为.
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）求数列的通项公式，并证明数列是等差数列；
（Ⅲ）如果数列满足，请证明数列是等比数列，并求其前项和.

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.。

本试题主要是考查了数列的通项公式与前n项和之间的关系的转化，以及等差数列的该奶奶，以及数列求和的综合运用。
（Ⅰ）对于n赋值为1,2,得到首项和第二项的值。
（Ⅱ）根据第一问中前两项，可以归纳猜想也可以通过当时，

，得到数列的通项公式，并证明数列是等差数列；
（Ⅲ）由已知得 ，
∵
然后借助于等比数列的通项公式求和得到结论。
解：（Ⅰ），，得…   2分
（Ⅱ）当时，

．          ………4分
又满足，
．      ………5分
∵   ，
∴数列是以5为首项，为公差的等差数列．     ………6分
（Ⅲ）由已知得 ，
∵  ，又，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列.      ………8分
.          ………10分