题目内容

已知函数f（x）=x³+ax²+x+2．
（Ⅰ）若a=-1，令函数g（x）=2x-f（x），求函数g（x）在（-1，2）上的极大值、极小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在 $数学公式$ 上恒为单调递增函数，求实数a的取值范围．

解：（Ⅰ）g（x）=2x-（x³-x²+x+2）=-x³+x²+x-2，所以g'（x）=-3x²+2x+1
由g'（x）=0得 $\text{[math]}$ 或x=1（12分）

x	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	1	（1，+∞）
g'（x）	-	0	+	0	-
g（x）	↘	$\text{[math]}$	↗	-1	↘

所以函数g（x）在 $\text{[math]}$ 处取得极小值 $\text{[math]}$ ；在x=1处取得极大值-（16分）
（Ⅱ）因为f'（x）=3x²+2ax+1的对称轴为 $\text{[math]}$
（1）若 $\text{[math]}$ 即a≤1时，要使函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上恒为单调递增函数，则有△=4a²-12≤0，解得： $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ；（8分）
（2）若 $\text{[math]}$ 即a＞1时，要使函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上恒为单调递增函数，则有 $\text{[math]}$ ，解得：a≤2，所以1＜a≤2；（10分）
综上，实数a的取值范围为 $\text{[math]}$ （12分）
分析：（Ⅰ）先求出函数g（x）=2x-f（x）的导函数，利用导函数求出原函数的单调区间，进而求出其极大值、极小值；
（Ⅱ）先求出其导函数，把函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上恒为单调递增函数，转化为其导函数的最小值恒大于等于0，利用二次函数在固定区间上求最值的方法求出导函数的最小值，再与0比即可求出实数a的取值范围．
点评：本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．