Question

（本小题满分12分）

如图，平面平面ABCD，

ABCD为正方形，是直角三角形，

且，E、F、G分别是

线段PA，PD，CD的中点.

（1）求证：∥面EFC；

（2）求异面直线EG与BD所成的角；

（3）在线段CD上是否存在一点Q，

使得点A到面EFQ的距离为0.8. 若存在，

求出CQ的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（2）（3）点A到面EFQ的距离为0.8

解析:

解法一：（1）证明：取AB中点H，连结GH，HE，

∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，∴GH∥AD∥EF，∴E，F，G，H四点共面.

又H为AB中点，∴EH∥PB.又面EFG，PB面EFG，∴PB∥面EFG.

（2）取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GM∥BD，

∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD

所成的角.在Rt△MAE中，，

同理，又，

∴在MGE中，，

故异面直线EG与BD所成的角为.

（3）假设在线段CD上存在一点Q满足

题设条件. 过点Q作QR⊥AB于R，连结RE，

则QR∥AD.∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，

且PA=AD=2，∴AD⊥AB，AD⊥PA，

又∵ABPA=A，∴AD⊥面PAB.

又∵E，F分别是PA，PD中点，∴EF∥AD，∴EF⊥面PAB.

又EF面EFQ，∴面EFQ⊥面PAB.

过A作AT⊥ER于T，则AT⊥面EFQ，

∴AT就是点A到面EFQ的距离.

设，则BR=CQ=x，AR=2-x，AE=1，

在Rt△EAR中，.

故存在点Q，当时，点A到面EFQ的距离为0.8.

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，

则,

,

.

（1）∵，，

设，即，

解得.∴，又∵不共线，

∴共面. ∵PB面EFG，∴PB∥面EFG.

（2）∵，

∴.故异面直线EG与BD所成的角为

（3）假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件，令，则DQ=2-m，

∴点Q的坐标为，∴. 而，设平面EFQ的法向量为n=(x，y，z)，则，

∴. 令x=1，则.

又，∴点A到面EFQ的距离，

即，∴.

故存在点Q，当时，点A到面EFQ的距离为0.8.