Question

（本小题满分16分）

已知数列｛a_n｝的前n项和为S_n，且（n）．数列｛b_n｝是等差数列，且，．

（1）求证：数列｛a_n－1｝是等比数列；

（2）求数列的前n项和T_n；

（3）若不等式 （a>0且a≠1）对一切n恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

（本小题满分16分）

解：（Ⅰ）由，①

当时，，②

两式相减得，即，-------1分

当时，为定值，---------- 2分

所以数列｛a_n－1｝是等比数列，公比是3，---------- 3分

（Ⅱ）由，令n＝1，得a₁＝－2． 所以数列｛a_n－1｝是等比数列，公比是3，首项为－3．

∴ a_n－1＝－33^n－1，即a_n－1＝－3ⁿ．----------- 4分

∴ ，．

由｛b_n｝是等差数列，求得b_n＝－4n----- 5分

∵，

而，

相减得，即，

则 ．--------- 8分

（Ⅲ）令则＝  ------ 9分

∴

＝ ---------------------10分

∴当时　此时单调递增；-------- 11分

∵当时，　从而＜3　∴当时,＜3

∵,,,

∴当n时，的最大值为3--------- 13分

∵不等式 （a>0且a≠1）对一切n恒成立  ∴． ------14分

故当a＞1时，x；当0＜a＜1时，0＜x≤a³．-------16分