Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．

（Ⅰ）求证：直线平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值；

（Ⅲ）设点在线段上，且二面角的余弦值为，求点到底面的距离．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).

【解析】

(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；

(Ⅱ)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后求解线面角的正切值即可；

(Ⅲ)设，由题意结合空间直角坐标系求得的值即可确定点到底面的距离．

(Ⅰ)由菱形的性质可知，

由线面垂直的定义可知：，且，

由线面垂直的判定定理可得：直线平面；

(Ⅱ)以点A为坐标原点，AD,AP方向为y轴,z轴正方向，如图所示，在平面ABCD内与AD垂直的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则：，

则直线PB的方向向量，很明显平面的法向量为，

设直线与平面所成角为，

则，.

(Ⅲ)设，且，

由于，

故：，据此可得：，

即点M的坐标为，

设平面CMB的法向量为：，则：

，

据此可得平面CMB的一个法向量为：，

设平面MBA的法向量为：，则：

，

据此可得平面MBA的一个法向量为：，

二面角的余弦值为，故：，

整理得 ，

解得：.

由点M的坐标易知点到底面的距离为或者.