Question

（本题满分15分）已知函数定义域为(),设.

(Ⅰ)试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；

(Ⅱ)求证:；

(Ⅲ)求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数 (其中为函数的导函数) .

Answer 1

（1）（2）见解析（3）当或时，一解；当时，二解。

解析:

(Ⅰ) 函数的导函数，欲使得函数在上为单调函数，因当时，，当时，，故只要时，恒成立，可得。…分

(Ⅱ)当时，得或，又时，，时，，时，，所以时，是函数在上的极小值，时，是函数在上的极大值，当时，有，而，由知，时由单调性知。…分

(Ⅲ) 对于任意的，，而

⑴当时，在上单调递减，只要证

，

即且①，由知①显然成立，且有唯一解。……分

⑵当时，只要证，只要证，显然成立。

当，即时，一解，当即时，

二解

⑶当时，只要证，

即证，显然成立。

当时，即时，二解，当，即，一解。

综合以上，当或时，一解；当时，二解。……分。