Question

如图，设每个电子元件能正常工作的概率均为P（0＜P＜1），问甲、乙哪一种正常工作的概率大？

Answer 1

思路解析：本题考查利用简单的互斥事件的和事件或相互独立事件的积事件或对立事件等概率公式解决实际问题的能力.

解：记元件A_i（i=1，2，3，4）正常工作为事件A_i（i=1，2，3，4）.

甲电路中：A₁、A₂串联，A₁A₂路中能工作的概率为P（A₁·A₂）=P²，不能工作的概率为1－P².

同理,A₃A₄路中不能工作的概率为1－P².

而A₁A₂路与A₃A₄路为并联电路，不能工作的概率为A₁A₂路、A₃A₄路同时不能工作，故甲线路中不能工作的概率为（1－P²）（1－P²），所以甲线路正常工作的概率为

P_甲=1－（1－P²）（1－P²）=2P²－P⁴.

对于乙电路：A₁、A₂为并联电路，A₁A₂路不能工作的概率为P（A₁A₂）=（1－P）²，能正常工作的概率为1－（1－P）².

同理,A₃A₄路能正常工作的概率为1－（1－P）².

又A₁A₂路与A₃A₄路为串联电路，能正常工作的概率为P_乙=［1－（1－P）²］·［1－（1－P）²］=4P²－4P³+P⁴.

∵P_乙－P_甲=2P²（1－P）²＞0，

∴图乙正常工作的概率大.

方法归纳  串联电路“正常工作的概率”比“不正常工作的概率”易求，而并联电路“不正常工作的概率”比“正常工作的概率”易求.通过“分类”或“分步”或“对立”将较复杂事件进行分解，转化为简单的互斥事件的和事件或相互独立事件的积事件或对立事件，再利用公式求其概率.