Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁BiC₁中，平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁.

（Ⅰ）求证：AB⊥BC；

（Ⅱ）若直线AC与平面A₁BC所成的角为θ,二面角A₁-BC-A的大小为φ的大小关系，并予以证明.

Answer 1

本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.

（Ⅰ）证明：如图，过点A在平面A₁ABB₁内作

AD⊥A₁B于D，则

由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁,且平面A₁BC侧面A₁ABB₁=A₁B,得

AD⊥平面A₁BC,又BC平面A₁BC，

所以AD⊥BC.

因为三棱柱ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，

则AA₁⊥底面ABC，

所以AA₁⊥BC.

又AA₁AD=A,从而BC⊥侧面A₁ABB₁，

又AB侧面A₁ABB₁，故AB⊥BC.

（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知是直线AC与平面A₁BC所成的角，

是二面角A₁—BC—A的平面角，即

于是在Rt△ADC中，在Rt△ADB中，

由AB＜AC，得又所以

解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB₁所在的直线分

别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AA₁=a,AC=b,AB=c,则 B(0,0,0), A(0,c,0), 于是

设平面A₁BC的一个法向量为n=(x,y,z)，则

由得

可取n=(0,-a,c)，于是与n的夹角为锐角，则与互为余角.

所以

于是由c＜b，得

即又所以