Question

【题目】已知函数，其中 ，为自然对数的底数．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）当时，若函数的图象恒在直线的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见详解；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由求导可得：，因为由可得，再根据两者的大小关系进行分类讨论可得函数的单调区间；

（Ⅱ）由已知可得在上恒成立，再分类讨论时，时和时函数的最小值，由即可求解.

（Ⅰ）由求导可得：

.

由可得，且，

①当时，即，

当或时，在此区间单调递增；

当时，在此区间单调递减；

②当时，即，

当或时，在此区间单调递增；

当时，在此区间单调递减；

③当时，即，

，在R上单调递增；

（Ⅱ）由已知可得在上恒成立.

①当时，由（Ⅰ）可知在上单调递增，

，

，解得：，

；

②当时，即

由（Ⅰ）可知在上单调递增，在上单调递减，

，

解得，；

③当时，即，

由（Ⅰ）可知在上单调递减，

，

，解得，此种情况a无解.

综上，a的取值范围是