Question

已知函数．
（1）求f（x）的最小值；
（2）证明：不等式恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，从而可求f（x）的最小值；
（2）只需证明，即证，构造g（x）=，确定其单调性，可得结论．
解答：（1）解：∵，∴
∴f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增
∴f（x）的最小值为f（a）=lna+1-a；
（2）证明：只需证明，即证
令g（x）=，则g′（x）=＞0
∵x＞1，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）＞g（1）=0，∴
故原不等式成立．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，确定函数的单调性是关键．