题目内容

若y=f（x）的图象如图所示，定义F(x)=
∫
x
0
f(t)dt，x∈[0，1]，则下列对F（x）的性质描述正确的有（　　）
①F（x）是[0，1]上的增函数，
②2F(
1
2
)=F(1)，
③F（x）是[0，1]上的减函数，
④2F(
1
3
)＞F(
2
3
)．
分析：根据定积分的几何意义，连续曲线y=f（x）≥0在[a，b]上形成的曲边梯形的面积为S=∫abf（x）dx，可得如图的阴影部分的面积为F（x），根据上边的图形得到F（x）为增函数；且f（x）为F（x）的原函数；根据下边的图形可得④正确．
解答：解：由定积分的几何意义可知，F（x）表示图中阴影部分的面积，且F′（x）=f（x），
当x0逐渐增大时，阴影部分的面积也逐渐增大，
所以F（x）为增函数，故①正确，③错误；
由定积分的几何意义及图象可知，②错误，④正确．
所以对F（x）的性质描述正确的有①④，
故选D．
点评：此题要求学生掌握定积分的几何意义，理解导函数与原函数间的关系，是一道基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知f(x)=
1
3
x3-
1
2
(a+1)x2+ax(a≠1)
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若y=f（x）的图象与x轴有三个交点，求实数a的取值范围．
已知向量
m
=（a，cos2x），
n
=（1+sin2x，
3
），x∈R，记f（x）=
m
•
n
．若y=f（x）的图象经过点（
π
4
，2 ）．
（1）求实数a的值；
（2）设x∈[-
π
4
，
π
4
]，求f（x）的最大值和最小值；
（3）将y=f（x）的图象向右平移
π
12
，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调递减区间．
（2012•山东）设函数f(x)=
1
x
，g（x）=-x2+bx．若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（　　）
已知函数f（x）=x|x|-2ax+1（x，a∈R）有下列四个结论：
（1）当a=0时，f（x）的图象关于原点对称
（2）f（|x|）有最小值1-a2
（3）若y=f（x）的图象与直线y=2有两个不同交点，则a=1
（4）若f（x）在R上是增函数，则a≤0
其中正确的结论为（　　）
已知函数f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2+a(a∈R)
（1）若在函数f（x）图象上存在点P（x0，f（x0））（x0＞0），使得y=f（x）在P处的切线的斜率为-9，求a的最小值；
（2）若y=f（x）的图象不经过第四象限，求实数a的取值范围．

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