Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-

3

2

ax2+a(a∈R)
（1）若在函数f（x）图象上存在点P（x₀，f（x₀））（x₀＞0），使得y=f（x）在P处的切线的斜率为-9，求a的最小值；
（2）若y=f（x）的图象不经过第四象限，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数的导函数f'（x），然后根据f'（x₀）=-9建立等式，然后将a分离出来，利用基本不等式可求出a的取值范围；
（2）讨论a的正负，然后利用导数研究函数的极小值，根据函数图象的特点，欲使y=f（x）的图象不经过第四象限，只需函数的极小值大于等于0即可，从而求出a的取值范围．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

3

x3-

3

2

ax2+a(a∈R)
∴f'（x）=x²-3ax
根据题意可知f'（x₀）=x₀²-3ax₀=-9（x₀＞0），
即a=

x0

3

+

3

x0

≥2

x0 3 × 3 x0

=2
当且仅当x₀=3时，取等号
∴a的最小值为2
（2）令f'（x）=x²-3ax=0解得x=0或3a
若a＜0时，当x∈（-∞，3a）时，f'（x）＞0，
当x∈（3a，0）时，f'（x）＜0，
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0
∴函数的极小值为f（0）=a≥0即可，此时a不存在
若a=0时，f（x）=

1

3

x³不过第四象限，满足条件；
若a＞0时，当x∈（-∞，0）时，f'（x）＞0，
当x∈（0，3a）时，f'（x）＜0，
当x∈（3a，+∞）时，f'（x）＞0
∴函数的极小值为f（3a）=9a³-

27

2

a³+a≥0即可，
a（

9

2

a²-1）≤0且a＞0
解得：0＜a≤

2

3

∴y=f（x）的图象不经过第四象限，求实数a的取值范围是0＜a≤

2

3

．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究极值和基本不等式的应用，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．