Question

10．已知等比数列{a_n}的公比q＞1．且2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，n∈N^*．
（I）求q的值；
（Ⅱ）若a₃²=a₁₀，求数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等比数列的通项公式即可得出；
（II）a₃²=a₁₀，可得${a}_{1}^{2}{q}^{4}$=${a}_{1}{q}^{9}$，解得a₁，可得a_n．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）∵2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，n∈N^*，∴$2{a}_{1}（{q}^{n-1}+{q}^{n+1}）$=5${a}_{1}{q}^{n}$，化为2q²-5q+2=0，q＞1，解得q=2．
（II）a₃²=a₁₀，∴${a}_{1}^{2}{q}^{4}$=${a}_{1}{q}^{9}$，∴${a}_{1}={q}^{5}$=32．
∴${a}_{n}=32×{2}^{n-1}$=2ⁿ⁺⁴．
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{{2}^{n+4}}{{3}^{n}}$=16×$（\frac{2}{3}）^{n}$
其前n项和S_n=16×$\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{2}{3}）^{n}]}{1-\frac{2}{3}}$=32$[1-（\frac{2}{3}）^{n}]$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．