Question

已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，点E是SC上的一点。

（Ⅰ）求证：平面EBD平面SAC；

（Ⅱ）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；

（Ⅲ）当SA=AB时，求二面角B-SC-D的大小。

Answer 1

解法一：

证明（Ⅰ）：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC,

∵ SA底面ABCD，BDÌ面ABCD，∴SABD，

∵SAÇAC=A，∴BD^面SAC，

又∵BDÌ面EBD，∴平面EBD平面SAC

解（Ⅱ）：由 （Ⅰ）知，BD^面SAC，

又∵BDÌ面SBD，∴平面SBD平面SAC，

设ACÇBD=O，则平面SBDÇ平面SAC=SO，

过A作AF^SO交SO于点F,则AF^面SBD，

所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距离。

∵ABCD是正方形，AB=2，∴AO=，

又∵SA=4，△SAO是Rt△，∴SO=，

∵SO×AF=SA×AO，∴AF=，

∴点A到平面SBD的距离为

解（Ⅲ）：作BM⊥SC于M，连结DM，

∵SA底面ABCD，AB=AD，∴SB=SD，

又∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CB⊥SB，CD⊥SD，

∴△SBC≌△SDC，∴DM⊥SC，

∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，BM=DM.

在正方形ABCD中，设AB=a，则AC=BD=a,

∵AB=SA，∴SB=a，SC=a,

∵BM×SC=SB×BC, ∴BM=a.

∴cos∠BMD=，

∴二面角B-SC-D的大小为120。

解法二：

证明（Ⅰ）同解法一。

∵ABCD是正方形，SA底面ABCD，

∴SA⊥AB，SA⊥AD，AB⊥AD，

如图，建立直解坐标系A-xyz。

（Ⅱ）A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），S（0，0，4），

设平面SBD的法向量为，则⊥，⊥，

∴，，而=（2，0，-4），=（0，2，-4）

∴，

∴x=2,y=2,即，则点A到平面SBD的距离d==

（Ⅲ）设SA=AB=a，则A（0，0，0），B（a，0，0），C(a,a,0),D（0，a，0），S（0，0，a）；设平面SBC的法向量=(x₁,y₁,-1),平面SDC的法向量=（x₂,y₂,1）

则,而=（0，a,0）,=(-a,0,0),=(a,a,-a)

∴,∴x₁=-1,y₁=0，x₂=0,y₂=1

∴=(-1,0,-1),=(0, 1,1), ∴cos<,>==,

∴二面角B-SC-D的大小为120。