Question

一弹性小球自h₀=5 m高处自由下落,当它与水平地面每碰撞一次后速度减少到碰前的,不计每次碰撞时间,计算小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间.

Answer 1

解:设小球第一次落地时速度为v₀,则有v₀==10(m/s),那么第二,第三,…,第n+1次落地速度分别为v₁=v₀,v₂=()²v₀,…,v_n=()ⁿv₀,小球开始下落到第一次与地面相碰经过的路程为h₀=5 m,小球第一次与地面相碰到第二次与地面相碰经过的路程是L₁=2×=10×()².

小球第二次与地面相碰到第三次与地面相碰经过的路程为L₂,则L₂=2×=10×()⁴.

    由数学归纳法可知,小球第n次到第n+1次与地面碰撞经过的路程为L_n=10×()²ⁿ.

    故从第一次到第n+1次所经过的路程为

    S_n+1=h₀+L₁+L₂+…+L_n,则整个过程总路程为

    S=S_n+1

    =5+10×

    =5+10=20.3(m).

    小球从开始下落到第一次与地面相碰经过时间t₀==1(s).

    小球从第一次与地面相碰到第二次与地面相碰经过的时间t₁=2×=2×,同理可得

    t_n=2×()ⁿ,t_n+1=t₀+t₁+t₂+…+t_n,则t=t_n+1=1+2×=8(s).