Question

已知数列{a_n}的首项为1，前n项和为S_n，且满足a _n+1=3S_n，n∈N^*．数列{b_n}满足b_n=log₄a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当n∈N^*时，试比较b₁+b₂+…+b_n与

1

2

（n-1）²的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据a_n+1=3S_n得a_n+2=3S_n+1两式相减整理可得

an+2

an+1

=4，进而可判断出数列{a_n} 从第二项起是以4为公比的等比数列．进而根据等比数列的通项公式求得当n≥2时的通项公式，最后综合可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中的代入b_n=log₄a_n求得b_n，进而对b₁+b₂+b₃+…+b_n进行分组求和求得b₁+b₂+b₃+…+b_n=

n-1

2

[log4

9

4

+(n-1)]
进而根据

n-1

2

[log4

9

4

+(n-1)]＞

(n-1)2

2

证明原式．

解答：解：（Ⅰ）由a_n+1=3S_n（1），得a_n+2=3S_n+1（2），
由（2）-（1）得a_n+1-a_n+1=3a_n+1，
整理，得

an+2

an+1

=4，n∈N^*．
所以，数列a₂，a₃，a₄，…，a_n，是以4为公比的等比数列．
其中，a₂=3S₁=3a₁=3，
所以 an=

1 ，n=1 3•4n-2 n≥2，n∈N*

；
（Ⅱ）由题意，bn=

0 n=1 log43+(n-2) n≥2，n∈N*

．
当n≥2时，b₁+b₂+b₃+…+b_n
=0+（log₄3+0）+（log₄3+1）+…+（log₄3+n-2）
=(n-1)log43+

1

2

(n-2)(n-1)
=

n-1

2

[2log43-1+(n-1)]
=

n-1

2

[log4

9

4

+(n-1)]＞

(n-1)2

2

，
所以 b1+b2+b3++bn＞

(n-1)2

2

．

点评：本题主要考查了数列的求和问题．根据a_n+1=3S_n求得数列的通项公式是关键，得到数列{a_n}从第二项起是等比数列，是易错点，考查运算能力，属中档题．