Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N^*），在数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n=2a_n-2得：S_n-1=2a_n-1-2（n≥2），两式相减可得a_n=2a_n-1（n≥2），再求得a₁=2，可知数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而可求a_n=2ⁿ；点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，可知b_n+1-b_n=2，又b₁=1，从而可求得{b_n}的通项公式；
（2））T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ①，2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹②，错位相减即可求得T_n．

解答：解：（1）由S_n=2a_n-2得：S_n-1=2a_n-1-2（n≥2），
两式相减得：a_n=2a_n-2a_n-1，即

an

an-1

=2（n≥2），
又a₁=2a₁-2，
∴a₁=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2ⁿ．
∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，
∴b_n+1-b_n=2，
∴数列{b_n}是等差数列，
∵b₁=1，
∴b_n=2n-1；
（2）T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ①
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹②
①-②得：-T_n=1×2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=2+2×

4(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=2+2×2ⁿ⁺¹-8-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=（3-2n）2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6．

点评：本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查等比关系的确定与错位相减法求和，属于中档题．