Question

设{a_n}是正项等比数列，令S_n=lga₁+lga₂+…+lga_n，n∈N^*，若存在互异的正整数m，n，使得S_m=S_n，则S_m+n=______．

Answer 1

∵{a_n}是正项等比数列，设公比为q，
∴lga_n+1-lga_n=lgq
∴数列{lga_n}为等差数列，
设公差为d
则S_m=mlga₁+

m(m-1)d

2

，S_n=nlga₁+

n(n-1)d

2

∵S_m=S_n，
∴S_m-S_n=mlga₁+

m(m-1)d

2

-nlga₁-

n(n-1)d

2

=（m-n）（lga₁+

m+n-1

2

d）=0
∵m≠n
∴lga₁+

m+n-1

2

d）=0
∴S_m+n=（m+n）lga₁+

(m+n)(m+n-1)d

2

=（m+n）（lga₁+

m+n-1

2

d）=0
故答案为0．