Question

设x＞1，y＞1且（x-1）（y-1）=2，若x+y≥k恒成立，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据题意，x+y≥k可变形为（x-1）+（y-1）+2≥k，只需k小于等于（x-1）+（y-1）+2的最小值即可，令t=（x-1）+（y-1）+2，且（x-1）（y-1）=2，则t=（x-1）+

2

x-1

+2，由基本不等式的性质，计算可得答案．

解答：解：根据题意，x+y≥k可变形为（x-1）+（y-1）+2≥k，
只需k小于等于（x-1）+（y-1）+2的最小值即可，
设x＞1，y＞1，则（x-1）＞0，（y-1）＞0，
令t=（x-1）+（y-1）+2，且（x-1）（y-1）=2，
则t=（x-1）+

2

x-1

+2≥3+2

2

，
则k≤2+2

2

，
故答案为（-∞，2+2

2

]．

点评：本题考查基本不等式的性质与运用，正确运用公式要求“一正、二定、三相等”，解本题时，应注意（x-1）、（y-1）的符号．