Question

某足球俱乐部2013年10月份安排4次体能测试，规定：按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则4次测试都要参加。若运动员小李4次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过，且他直到第二次测试才合格的概率为。
（Ⅰ）求小李第一次参加测试就合格的概率P₁；
（2）求小李10月份参加测试的次数x的分布列和数学期望。

Answer 1

（Ⅰ）小李第一次参加测试就合格的概率为；（Ⅱ）则x的分布列为

x	1	2	3	4
P

小李10月份参加测试的次数x的数学期望为.

试题分析：（Ⅰ）求小李第一次参加测试就合格的概率，由题意小李4次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，可设第一次参加测试就合格的概率为，则小李四次测试合格的概率依次为，而他直到第二次测试才合格的概率为，即，解得或，又因为他第一次测试合格的概率不超过，可舍去；（Ⅱ）求小李10月份参加测试的次数x的分布列和数学期望，小李10月份参加测试的次数为，则，小李四次考核每次合格的概率依次为，根据相互独立事件同时发生的概率，得到分布列和期望．
试题解析：（Ⅰ）设小李四次测试合格的概率依次为：
a, a＋, a＋, a＋(a≤)，                               (2分)
则(1－a)(a＋)＝，即,
解得(舍)，                                 (5分)
所以小李第一次参加测试就合格的概率为；                 (6分)
（Ⅱ）因为P(x＝1)＝， P(x＝2)=，P(x＝3)＝，
P(x＝4)＝1－P(x＝1)－P(x＝2)－P(x＝3)＝，            (8分)
则x的分布列为

x	1	2	3	4
P

(10分)
所以，           
即小李10月份参加测试的次数x的数学期望为.           (12分)